درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- معادلهٔ درجه دوم ${{x}^{2}}-2x-3=0$ را که درسا در بخش قبل به آن رسید، در نظر بگیرید.
با تجزیهٔ سمت چپ معادلهٔ بالا، جای خالی را با عدد مناسب پر کنید.

$(x+1)(x-3)=0$

ویژگی حاصل ضرب صفر
اگر $A$ و $B$ دو عبارت جبری باشند و $AB=0$، آنگاه حداقل یکی از این دو عبارت صفر است؛ یعنی:

$B=0$  یا  $AB=0\Rightarrow A=0$

2- از ویژگی بالا استفاده کنید و جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.

$x=3$    یا  $x-3=0\Rightarrow x=-1$   یا  $(x+1)(x-3)=0\Rightarrow x+1=0$

برای اطمینان از صحت جواب‌های حاصل شده، می‌توانیم هر دو جواب به دست آمده را در معادله قرار دهیم و آنها را آزمایش کنیم. یکی از جواب‌ها آزمایش شده است؛ جواب دیگر را آزمایش کنید.

$\begin{align}   & x=3 \\   & {{x}^{2}}-2x-3=0 \\   & {{(3)}^{2}}-2(3)-3=0 \\   & 9-6-3=0 \\   & 0=0* \\  \end{align}$

$\begin{align}   & x=-1 \\   & {{x}^{2}}-2x-3=0 \\   & {{(-1)}^{2}}-2(-1)-3\overset{?}{\mathop{=}}\,0 \\   & 1+2-3\overset{?}{\mathop{=}}\,0 \\   & 0=0* \\  \end{align}$

آیا هر دو جواب این معادله می‌توانند طول اضلاع مثلث قائم الزاویه‌ای باشند که قبلاً دربارهٔ آن بحث شده است؟ توضیح دهید.
خیر، جواب $x=-1$ قابل قبول نیست، زیرا طول ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه همواره عددی مثبت است.

معادله‌های درجهٔ دوم زیر را به روش تجزیه حل کنید و جواب‌های خود را آزمایش کنید.

${{x}^{2}}-3x=10$ (الف
$x=-2$   یا  $x+2=0\Rightarrow x=5$  یا   ${{x}^{2}}-3x-10=0\Rightarrow (x-5)(x+2)=0\Rightarrow x-5=0$

حالا جواب‌ها را امتحان می‌کنیم:  $x=5:{{5}^{2}}-3(5)-10=0\Rightarrow 25-15-10=0\Rightarrow 0=0*$ 

$x=-2:{{(-2)}^{2}}-3(-2)-10=0\Rightarrow 4+6-10=0\Rightarrow 0=0*$ 

$3{{t}^{2}}-t=0$ (ب
$t=\frac{1}{3}$ یا   $3t-1=0\Rightarrow t=0$  یا   $\Rightarrow t(3t-1)=0\Rightarrow t=0$

حالا جواب‌ها را امتحان می‌کنیم: $t=0:3{{(0)}^{2}}-0=0\Rightarrow 0-0=0\Rightarrow 0=0*$ 

$t=\frac{1}{3}:3{{(\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{1}{3}=0\Rightarrow 3(\frac{1}{9})-\frac{1}{3}=0\Rightarrow 0=0*$

معادلهٔ درجه دوم ${{x}^{2}}=25$ را در نظر بگیرید.
1- جواب‌های این معادله را به روش تجزیه به دست آورید.

$x=-5$   یا  $x+5=0\Rightarrow x=5$   یا  ${{x}^{2}}=25\Rightarrow {{x}^{2}}-25=0\Rightarrow (x-5)(x+5)=0\Rightarrow x-5$

2- ریشه‌های دوم عدد ٢٥ را به دست آورید و آنها را با جواب‌های حاصل از تجزیه به دست آورید. این معادله را به روش تجزیه نیز حل کنید و جواب‌های به دست آمده را با این جواب‌ها مقایسه کنید.
جواب‌های هر دو روش یکسان است.
3- اگر ${{x}^{2}}=a$ یک معادلهٔ درجه دوم باشد که در آن $a$ یک عدد حقیقی است، آیا همیشه می‌توان جواب‌های آن را به صورت $x=\pm \sqrt{a}$ نوشت؟ توضیح دهید.
خیر، زیرا ممکن است $a$ عددی منفی باشد و همان طور که می‌دانیم اعداد منفی ریشه دوم ندارند. بنابراین معادله جواب نخواهد داشت. فقط در صورتی که $a$ عددی مثبت باشد می‌توانیم هر دو ریشه را به دست آوریم.

جواب هر یک از معادله‌های زیر را در صورت وجود به روش ریشه گیری به دست آورید.

$5{{x}^{2}}=20$ (الف
$r-2=\pm 4$
$r=-2$    یا    $r=6$ 

${{t}^{2}}+7=0$ (ب
این معادله جواب ندارد.  ${{t}^{2}}=-7$

${{(r-2)}^{2}}=16$ (پ
${{x}^{2}}=4$ 
$x=\pm 3$ 

1- دو جمله‌ای ${{x}^{2}}+6x$ را در نظر بگیرید. چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود؟ جاهای خالی را با اعداد مناسب پر کنید.

${{x}^{2}}+6x+9={{(x+3)}^{2}}$

اعدادی که در جاهای خالی نوشته‌اید، چه ارتباطی با شکل روبه رو دارند؟
عدد 9 مساحت مربع کوچک ایجاد شده در سمت راست و پایین شکل است و عدد 3 طول ضلع این مربع (جذر 9) است.

2- اگر $a$ یک عدد حقیقی باشد، به دو جمله‌ای ${{x}^{2}}+ax$ چه جمله‌ای باید اضافه شود تا به شکل مربع کامل در آید؟ جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.

${{x}^{2}}+ax+{{(\frac{a}{2})}^{2}}={{(x+\frac{a}{2})}^{2}}$

معادله‌های زیر را به روش مربع کامل حل کنید.

${{x}^{2}}+2x=24$ (الف
${{x}^{2}}+2x+1=24+1$ 
${{(x+1)}^{2}}=25$ 
$x+1=\pm 5\Rightarrow x=\pm 5-1$ 
$x=-6$   یا   $x=4$

${{t}^{2}}+3t=3$  (ب
${{t}^{2}}+3t+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}\Rightarrow {{(t+\frac{3}{2})}^{2}}=\frac{21}{4}$ 
$t+\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{21}}{2}\Rightarrow t=\pm \frac{\sqrt{21}}{2}-\frac{3}{2}$ 
$t=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$   یا  $t=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$ 

${{n}^{2}}-4n+5=0$ (پ
${{n}^{2}}-4n=-5$ 
${{n}^{2}}-4n+4=-5+4$ 
${{(n-2)}^{2}}=-1$
این معادله جواب نداد. 

$2{{r}^{2}}+r-2=0$ (ت
${{r}^{2}}+\frac{r}{x}-1=0\Rightarrow {{r}^{2}}+\frac{r}{2}=1$ 
${{r}^{2}}=\frac{r}{2}+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$ 
${{(r+\frac{1}{4})}^{2}}=\frac{17}{16}\Rightarrow r+\frac{1}{4}=\pm \frac{\sqrt{17}}{4}$ 
$r=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$   یا  $r=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$ 

در بخش‌های قبل، روش‌هایی برای حل معادله‌های درجهٔ دوم فرا گرفته‌اید. اکنون می‌خواهیم یک فرمول کلی برای حل معادلهٔ درجه دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ که در آن $a\ne 0$ است، پیدا کنیم.
دانش آموز: آیا با روش مربع کامل می‌توان هر معادلهٔ درجه دوم را حل کرد؟
معلم: بله. برای حل معادلهٔ $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ با این روش مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

اکنون قرار می‌دهیم $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$؛ پس: ${{(x+\frac{b}{2a})}^{2}}=\frac{\Delta }{4{{a}^{2}}}$.
آیا می‌توانید با ریشهٔ دوم گرفتن از دو طرف این معادله، جواب‌های آن را به دست آورید؟
دانش آموز: اگر $\Delta <0$ باشد، از سمت راست نمی‌توان ریشهٔ دوم گرفت.
معلم: آفرین؛ پس اگر $\Delta $ یک عدد منفی باشد، معادلهٔ درجهٔ دوم ریشه‌ای ندارد. اگر $\Delta >0$ باشد، آیا می‌توانید ریشه‌های این معادله را به دست آورید؟
دانش آموز: بله. کافی است از دو طرف معادلهٔ ${{(x+\frac{b}{2a})}^{2}}=\frac{\Delta }{4{{a}^{2}}}$ ریشهٔ دوم بگیریم:

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

دانش آموز: اگر $\Delta =0$ باشد، آیا این معادله ریشه‌ای دارد؟
معلم: بله و این ریشه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

${{(x+\frac{b}{2a})}^{2}}=\frac{\Delta }{4{{a}^{2}}}\Rightarrow {{(x+\frac{b}{2a})}^{2}}=0\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}$

دانش آموز: پس در حالت $\Delta =0$ معادله تنها یک ریشه به صورت $x=-\frac{b}{2a}$ دارد.
معلم: این ریشه از معادلهٔ ${{(x+\frac{b}{2a})}^{2}}=(x+\frac{b}{2a})(x+\frac{b}{2a})=0$ به دست آمده است و چون هر دو معادلهٔ $x+\frac{b}{2a}=0$ و $x+\frac{b}{2a}=0$ جواب یکسان دارند، به جواب مشترک آنها، ریشهٔ مضاعف یا ریشه مکرر مرتبهٔ دوم می‌گوییم.

1- با توجّه به فعالیت بالا، جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.

2- معادله‌های زیر را با فرمول کلی حل کنید.

${{x}^{2}}-x+1=0$ (الف

در این معادله، $c=1$ و $b=-1$ و $a=1$، پس $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=1-4=-3$ و چون $\Delta <0$ است، این معادله ریشه حقیقی ندارد. 

$-2{{x}^{2}}+x+3=0$ (ب

در این معادله، $c=3$ و $b=1$ و $a=-2$، پس $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=1-4=(-6)=1+24=25$ پس $\Delta >0$ و این معادله دو ریشه دارد که از روابط زیر به دست می‌آیند:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1\pm 5}{-4}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   x=\frac{-1+5}{-4}=-1\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   x=\frac{-1-5}{-4}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}  \\
\end{matrix} \right.$

$-{{x}^{2}}+4x-4=0$ (پ
$a=-1,b=4,c=-4$
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(4)}^{2}}-4(-1)(-4)=16-16=0\Rightarrow x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$

چون $\Delta $ صفر است، معادله یک ریشه‌ی حقیقی دارد و از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2(-1)}=2$

1- معادله‌های زیر را به کمک تجزیه حل کنید.

۱) ${{x}^{2}}-11x=-10$ 
${{x}^{2}}-11x+10=0\Rightarrow (x-10)(x-1)=0\Rightarrow x-10=0$    یا    $x-1=0\Rightarrow x=10$     یا          $x=1$

۲) $5{{t}^{2}}=20$
$5{{t}^{2}}-20=0\Rightarrow 5({{t}^{2}}-4)=0\Rightarrow 5(t-2)(t+2)=0\Rightarrow t-2=0$     یا      $t+2=0\Rightarrow t=+2$     یا    $t=-2$

۳) $5{{a}^{2}}-7a=2a(a-3)$ 
$5{{a}^{2}}-7a=2{{a}^{2}}-6a\Rightarrow 3{{a}^{2}}-a=0\Rightarrow a(3a-1)=0\Rightarrow a=0$       یا       $3a-1=0\Rightarrow a=\frac{1}{3}$

۴) $4{{k}^{2}}-12k+8=0$ 
$4({{k}^{2}}-3k+2)=0\Rightarrow 4(k-1)(k-2)=0\Rightarrow k-1=0$    یا     $k-2=0\Rightarrow k=1$    یا     $k=2$         

2- هر یک از معادله‌های زیر را با ریشهٔ دوم گرفتن حل کنید.

۱) ${{n}^{2}}-2=26$ $\Rightarrow {{n}^{2}}=28\Rightarrow n=\pm \sqrt{28}\Rightarrow n=\pm 2\sqrt{7}$ 

۲) ${{x}^{2}}+12=3$ $\Rightarrow {{x}^{2}}=-9$  .جواب حقیقی ندارد

۳) ${{(3t-2)}^{2}}=4$  $\Rightarrow 3t-2=\pm 2\Rightarrow 3t=2\pm 2\Rightarrow 3t=0$       یا    $3t=4\Rightarrow t=\frac{4}{3}$ 

۴) $3-3k=3k(2k-1)$ $\Rightarrow 3-3k=6{{k}^{2}}-3k\Rightarrow {{k}^{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 

3- معادله‌های زیر را به روش مربع کامل حل کنید.

۱) ${{x}^{2}}-6x=7$ 
 ${{x}^{2}}-6x+9=7+9\Rightarrow {{(x-3)}^{2}}=16\Rightarrow x-3=\pm 4\Rightarrow x=\pm 4+3\Rightarrow x=7$    یا     $x=-1$

۲) ${{s}^{2}}-3s+3=0$ 
${{s}^{2}}-3s=-3\Rightarrow {{s}^{2}}-3s+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}\Rightarrow {{(s-\frac{3}{2})}^{2}}=-\frac{3}{4}$  .معادله جواب حقیقی ندارد

۳) ${{r}^{2}}+4r+4=0$ 
${{(r+2)}^{2}}=0\Rightarrow r+2=0\Rightarrow r=-2$  ریشهٔ مضاعف

۴) $2{{a}^{2}}+5a-3=0$ 
$2{{a}^{2}}+5a=3\Rightarrow {{a}^{2}}+\frac{5}{2}a=\frac{3}{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}\Rightarrow {{(a+\frac{5}{4})}^{2}}=\frac{49}{16}\Rightarrow a+\frac{5}{4}=\pm \frac{7}{4}\Rightarrow a=-3$
یا      $a=\frac{1}{2}$

4- هر یک از معادله‌های زیر را با روش فرمول کلی حل کنید.

۱) $4{{x}^{2}}-13x+3=0$ $\Rightarrow a=4,b=-13,c=3$ 
$\Rightarrow \Delta ={{(-13)}^{2}}-4\times 4\times 3=169-48=121\Rightarrow x=\frac{13\pm \sqrt{121}}{8}\Rightarrow x=3$   یا     $x=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

۲) $r-{{r}^{2}}=3$  $\Rightarrow {{r}^{2}}-r+3=0\Rightarrow a=1,b=-1,c=3$ 
$\Rightarrow \Delta ={{(-1)}^{2}}-4\times 1\times 3=1-12=-11<0\Rightarrow $  .معادله جواب حقیقی ندارد

۳) ${{a}^{2}}+2\sqrt{3}a=9$   $\Rightarrow {{a}^{2}}+2\sqrt{3}a-9=0\Rightarrow a=1,b=2\sqrt{3},c=-9$ 
$\Rightarrow \Delta ={{(2\sqrt{3})}^{2}}-4\times 1\times (-9)=48\Rightarrow a=\frac{-2\sqrt{3}\pm \sqrt{48}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm 4\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=-3\sqrt{3}$  یا   $a=\sqrt{3}$

۴) $\frac{{{t}^{2}}}{3}-\frac{t}{2}-\frac{3}{2}=0$  $\Rightarrow 2{{t}^{2}}-3t-9=0\Rightarrow a=2,b=-3,c=9$ 
 $\Rightarrow \Delta ={{(-3)}^{2}}-4\times 2\times (-9)=81\Rightarrow t=\frac{3\pm \sqrt{81}}{4}\Rightarrow t=3$ $t=-\frac{3}{2}$

5- هر یک از معادله‌های زیر را به روش دلخواه حل کنید.

۱) $2{{x}^{2}}=250$ 
$\Rightarrow {{x}^{2}}=125\Rightarrow x=\pm \sqrt{125}\Rightarrow x=\pm 5\sqrt{5}$ 

۲) $9-6z+{{z}^{2}}=0$ 
$\Rightarrow {{(z-3)}^{2}}=0\Rightarrow z-3=0\Rightarrow z=3$ ریشهٔ مضاعف

۳) $4{{a}^{2}}+3a=1$ 
$\Rightarrow 4{{a}^{2}}+3a-1=0\Rightarrow a=4,b=3,c=-1$ 
$\Rightarrow \Delta ={{3}^{2}}-4\times 4\times (-1)=25\Rightarrow a=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{8}\Rightarrow a=-1$   یا   $a=\frac{1}{4}$

۴) ${{b}^{2}}+\sqrt{2}b-4=0$
$a=1,b=\sqrt{2},c=-4\Rightarrow \Delta ={{(\sqrt{2})}^{2}}-4\times 1\times (-4)=2+16=18\Rightarrow b=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{18}}{2}$ 
$\Rightarrow b=\frac{-\sqrt{2}\pm 3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow b=-2\sqrt{2}$   یا    $b=\sqrt{2}$

6- مجموع مربعات دو عدد فرد متوالی 290 است. این دو عدد را پیدا کنید.
فرض کنید این دو عدد $x$ و $x+2$ باشند:

${{x}^{2}}+{{(x+2)}^{2}}=290\Rightarrow {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+4x+4=290\Rightarrow 2{{x}^{2}}+4x-286=0$
$x=11\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   11,13  \\
   -11,-13  \\
\end{matrix} \right.$   یا     $\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-143=0\Rightarrow (x+13)(x-11)=0\Rightarrow x=-13$

7- طول یک مستطیل 3 سانتی متر بیشتر از 4 برابر عرض آن است. اگر مساحت این مستطیل 45 سانتی متر مربع باشد، ابعاد این مستطیل را مشخص کنید.

$a(4a+3)=45\Rightarrow 4{{a}^{2}}+3a=45\Rightarrow 4{{a}^{2}}+3a-45=0\Rightarrow \Delta ={{3}^{2}}-4\times 4\times (-45)=729$ 
   $a=3$    یا     $\Rightarrow a=\frac{-3\pm \sqrt{729}}{8}=\frac{-3\pm 27}{8}\Rightarrow a=-\frac{15}{4}$ 

 $a=-\frac{15}{4}$ قابل قبول نیست. پس عرض مستطیل $a=3$ و طول آن $4\times 3+3=15$ خواهد بود.
8- اختلاف سنی دو برادر با یکدیگر 4 سال است. اگر چهار سال دیگر حاصل ضرب سن آنها 60 شود، سن هر کدام چقدر است؟
فرض کنید سن برادر کوچک‌تر $x$ باشد، بنابراین سن برادر بزرگ‌تر $x+4$ خواهد بود.

$x=6$     یا   $x(x+4)=60\Rightarrow {{x}^{2}}+4x-60=0\Rightarrow (x+10)(x-6)=0\Rightarrow x=-10$ 

4 سال بعد برادر کوچک‌تر 6 و برادر بزرگ‌تر 10 سال خواهند داشت. بنابراین الان سن آنها به ترتیب 2 و6 سال است.
9- یک عکس به اندازهٔ 10 در 15 سانتی متر درون یک قاب با مساحت 300 سانتی متر مربع، قرار دارد. اگر فاصلهٔ همهٔ لبه‌های عکس تا قاب برابر باشد، ابعاد این قاب عکس را پیدا کنید.

$(2x+10)(2x+15)=300\Rightarrow 4{{x}^{2}}+50x+150=300$ 
$\Rightarrow 4{{x}^{2}}+50x-150=0$
$\Rightarrow 4{{x}^{2}}+25(2x)-150\Rightarrow (2x+30)(2x-5)=0$
$x=-15$  یا     $\Rightarrow x=2/5$

که 2/5 قابل قبول است.
بنابراین ابعاد قاب عکس 15 و 20 خواهد بود.
10- در یک تیمگان (لیگ) والیبال، 45 بازی انجام شده است. اگر هر تیم با دیگر تیم‌های تیمگان، تنها یک بازی انجام داده باشد، تعداد تیم‌های این تیمگان را به دست آورید. اگر تعداد بازی‌های تیمگان $N$ و تعداد تیم‌ها $n$ باشد، الگویی برای تعداد بازی‌ها به دست آورید.

فرض کنید $n$ تعداد تیم‌های لیگ باشد. چون هر تیم با بقیه تیم‌ها بازی می‌کند پس $n(n-1)$ بازی انجام می‌شود. اما چون بازی تیم $A$ و $B$ همان بازی تیم $B$ و $A$ است پس $\frac{n(n-1)}{2}$ بازی مختلف انجام خواهد شد. داریم:

$\frac{n(n-1)}{2}=45\Rightarrow n(n-1)=90\Rightarrow {{n}^{2}}-n-90=0$ 
$n=-9$   یا  $(n-10)(n+9)=0\Rightarrow n=10$ 

بنابراین تعداد تیم‌ها 10 تا است. به طور کلی برای یک لیگ با $n$ تیم و $N$ بازی داریم: $N=\frac{n(n-1)}{2}$
11- فشار خون نرمال یک شخص مذکر، که بر حسب میلی متر جیوه $(mmHg)$ اندازه‌گیری می‌شود، با رابطهٔ $P=0/006{{s}^{2}}-0/02s+120$ محاسبه می‌شود که در آن، $P$ فشار خون نرمال یک فرد با سن $s$ است. سن شخصی را پیدا کنید که فشار خون آن 125 میلی متر جیوه باشد. (از ماشین حساب استفاده کنید.)

$0/006{{s}^{2}}-0/02s+120=125\Rightarrow 0/006{{s}^{2}}-0/02s-5=0$

$\xrightarrow{\times 1000}6{{s}^{2}}-20s-5000=0\Rightarrow \Delta =400-4\times 6\times (-5000)=120400$ 

$ \Rightarrow s=\frac{20+\sqrt{120400}}{12}\simeq \frac{20+347}{12}=\frac{367}{12}\simeq 31$ 

سن شخص تقریباً 31 سال است